Задачи-сказки

Существует много приемов, способствующих развитию устойчивого интереса к изучению математики в школе. Один из таких приемов – сочетание в задачах, решаемых на внеклассных занятиях, мира сказки с неизведанным и загадочным миром математики. При решении математических задач, в которых действующими лицами являются герои любимых сказок, рассказов или мультфильмов, учащиеся проявляют большой интерес, считают себя активными участниками событий, происходящих с их знакомыми персонажами.

В этой ситуации дети легче воспринимают текст задачи, несмотря на то что он обычно бывает длиннее, и непременно хотят помочь своим любимым героям в трудной ситуации. А трудная ситуация в этих случаях – это нерешенная задача. Бывает, что задача решена самими персонажами сказки, но тем не менее предлагают детям тоже поразмыслить над решением и найти его. Дружба дружбой, а задачи надо уметь решать всем.

Приводим несколько задач-сказок, которые могут быть использованы на уроках, внеклассных мероприятиях, в том числе в качестве инсценировок.

Задачи соответствуют программным требованиям для учащихся 2–4 классов.

Задача 1

– Ребята, сейчас я прочитаю вам небольшой отрывок из русской народной сказки, а вы попробуйте отгадать, что это за сказка.

Стала Машенька думать, как ей от медведя убежать. Кругом лес, в какую сторону идти – не знает, спросить не у кого. Думала она, думала и придумала. Приходит раз медведь из лесу, а Машенька говорит:

– Медведь, медведь, отпусти меня на денек в деревню: я бабушке и дедушке гостинцев отнесу.

– Нет, – говорит медведь, – ты в лесу заблудишься. Давай гостинцы, я их сам отнесу…

Конечно, вы догадались! Это отрывок из известной русской народной сказки «Машенька и медведь».

А теперь слушайте внимательно. Я вам расскажу другое продолжение сказки.

Маша напекла пирогов и сказала медведю, чтобы он короб не открывал до тех пор, пока не решит задачу, которую она сейчас ему задаст.

– Тебе, Миша, надо узнать, сколько пирогов я положу в короб. Слушай внимательно! В коробе пирогов больше 15, но меньше 25. Если поделить эти пироги между мной и тобой поровну, то останется 1 пирог. Если поделить все пироги между тобой, дедушкой и бабушкой, то останется 2 пирога. Если же поделить все пироги между мной, тобой, бабушкой и дедушкой, то останется 3 пирога.

– А теперь выйди на крыльцо, посмотри, не идет ли дождик.

Только медведь вышел на крыльцо, Машенька залезла в короб, а на голову себе поставила блюдо с пирогами. Вернулся медведь, взвалил на себя короб и пошел в деревню. Идет медведь, а сам вслух рассуждает – задачу решает:

– Если поделить все пироги поровну на двоих, то останется один пирог, значит, число пирогов есть число нечетное. Маша сказала, что если пироги поделить между мной, Машей, дедушкой и бабушкой, то есть на 4, то останется 3 пирога. Значит, число пирогов на 3 больше числа, делящегося на 4. Вот если пироги поделить на троих, то останется 2 пирога. Следовательно, число пирогов на 2 больше, чем число, делящееся на 3.

Маша решила, что сейчас медведь правильно назовет, сколько пирогов в коробе, откроет его и обнаружит ее. К радости девочки медведь решил, что пирогов в коробе 11. Он уже было хотел открыть короб, но вдруг вспомнил, что пирогов было больше 15 , но меньше 25.

– Ничего, начну рассуждать сначала, – решил он, но не заметил, как уже подошел к деревне.

– Отпирайте дом, дедушка и бабушка. Я вам от Маши пироги принес.

Открыли старики короб, а там их внучка. То-то они были рады.

Медведь ушел в лес, долго огорчался, что не успел вовремя задачку решить. Дал слово, что решит ее. И решил.

З а д а н и е: попробуйте и вы, ребята, решить задачу, тогда узнаете, сколько пирогов было в коробе.

(Р е ш е н и е:  по существу, поиск решения задачи уже приведен в рассуждениях медведя. Итак, в коробе было 23 пирога, так как  при  делении 23 : 3 в остатке получается число 2.)

Задача 2

Жила-была девочка. Она очень любила ходить в лес за грибами. Однажды пошла она в лес и только хотела подойти к речке, как увидела на берегу трех медведей. Она их сразу узнала. Это были Михайло Иванович, Настасья Петровна и маленький медвежонок Мишутка. На берегу стояли 3 сосуда. На одном из них было написано 10 л, на другом 8 л, а еще на одном 3 л. Сосуд, на котором было написано 8 л, стоял в стороне и был пустой.

Девочка поняла, что родители-медведи хотели, чтобы их сын при помощи сосудов 10 л и 3 л налил 8 л воды. Сосуд вместимостью 8 л нужен был для того, чтобы проверить, правильно ли Мишутка сумеет решить задачу.

Медвежонок так и не сумел налить 8 л воды при помощи сосудов вместимостью 10 л и 3 л. Пришлось взрослым показать медвежонку, как это сделать. Когда они перелили воду из 10-литрового сосуда в 8-литровый, то он оказался наполненным до краев.

Как же медведям удалось решить задачу?

(Р е ш е н и е: сколькими литрами воды из необходимых восьми мы располагаем? (Есть 2 литра воды.) Сколько же еще литров нам нужно? (Требуется еще 6 л воды.) Как мы можем налить 6 л, имея 3-литровый сосуд? (Нужно вылить 2 л воды из 3-литрового сосуда в 10-литровый, а затем при помощи того же 3-литрового сосуда два раза налить в 10-литровый по 3 л воды.)

Задача 3

– Кто там? – спросил галчонок, услышав стук в дверь.

– Это я, почтальон Печкин. Разнес почту, иду и рассуждаю: пытаюсь решить одну задачу. Дай, думаю, зайду к вам, может быть, вместе решим.

– Садись! – пригласил старого почтальона дядя Федор. – Расскажи нам свою задачу.

– Однажды в воскресенье в 6 ч утра, – начал почтальон Печкин, – гусеница начала вползать на дерево. В течение дня до 19 ч она вползала на высоту 5 м, а в течение ночи опускалась на 2 м. Нужно узнать, в какой день недели она вползет на высоту 9 м.

– Эту задачу я решать не буду, – сказал кот Матроскин. – от этой гусеницы только вред и никакой пользы.

– От гусеницы действительно один вред, – согласился пес Шарик, – но ведь будет польза от того, что мы решим задачу, даже если она и про гусеницу.

– И все равно я решать задачу не буду, – твердо сказал кот. – Я пойду заниматься хозяйством, а ты, шарик, если не решишь задачу, то, как пойдешь на охоту, найди на дереве гусеницу и понаблюдай за ней. Может быть, и узнаешь, когда она вползет на дерево высотой 9 м. Боюсь, что у тебя на это не хватит терпения.

– Ничего, я эту задачу сейчас решу, – уверенно сказал пес. – Не обязательно смотреть, когда гусеница будет вползать на дерево. Гусеница за сутки вползет на 5 м без 2 м, то есть на 3 м. Следовательно, высоты 9 м она достигнет по истечению трех суток.

– Значит, ты считаешь, – обратился к Шарику дядя Федор, – что гусеница будет на нужной высоте в среду утром?

Именно это я и хотел сказать, – подтвердил Шарик.

– Нет, решение твое неверное.

– Как же неверное, – обиделся Шарик. – За первые сутки гусеница вползет на 3 м, за вторые сутки еще на 3 м.

– Я с тобой согласен, – подтвердил дядя Федор. – Но вот только дальше будь внимательнее, и ты увидишь, что гусеница достигнет высоты 9м… Когда же гусеница достигнет высоты 9 м?

(Р е ш е н и е: эту задачу лучше всего решить, применяя наглядность. Начертим отрезок длиной 9 см. Выберем в качестве отсчета нижнюю точку отрезка. За время от 6 ч утра до 19 ч вечера гусеница поднимется на 5 м (положение А). В течение ночи, то есть до 6 ч утра в понедельник, гусеница опустится на 2 м, значит, она будет находиться в точке В. Рассуждая аналогично, мы получим, что к 6 ч утра во вторник гусеница будет находиться в точке Д. До вершины дерева ей теперь предстоит ползти 3 м. Учитывая, что за день она проползет 5 м, можно сделать вывод, что гусеница достигнет вершины дерева во вторник днем.)

Задача 4

– Помните ли вы, ребята, как Винни-Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику и как потом медвежонок не мог вылезти из домика Кролика – так сильно он растолстел. Винни-Пух и Пятачок еще не раз приходили к своему приятелю в гости.

И вот однажды в очень веселом расположении духа Винни-Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику и, усевшись за стол, стали ждать угощения. Но Кролик почему-то не спешил подавать на стол.

– Я вижу, вы очень проголодались? – обратился он к своим друзьям.

– Да, – ответил Винни-Пух. – У нас сегодня с Пятачком аппетит не хуже, чем всегда.

– Но у меня сегодня нет никаких запасов и я могу напоить вас только чаем.

– Чай – это хорошо, – сказал Пятачок.

– Но было бы совсем хорошо, – продолжал Винни-Пух, – если бы к чаю был пирог.

– Пирог так пирог, – согласился Кролик. – Тогда вам придется сходить в лесной  магазин к Сове и купить пирог. Пирог стоит всего 8 коп. Я дам вам 50 коп. только пятикопеечными монетами. У Совы, я знаю, есть только трехкопеечные монеты. Если вы сумеете сообразить, сколько пятикопеечных монет должны дать Сове и сколько трехкопеечных монет должна сдать вам Сова, то сегодня мы будем пить чай со сладким пирогом.

Ни Винни-Пух, ни Пятачок не были сильны в математике, но ради сладкого пирога с чаем стоило подумать. Сова, конечно, птица ученая, но на нее рассчитывать не приходилось, так как несмотря на свое умение считать, она не могла лишить этого удовольствия других.

Говорят, что Винни-Пух и Пятачок справились с этой задачей. Самым интересным было то, что Винни-Пух, покупая пирог, предложил сделать расчет двумя способами. Уж так ему хотелось попробовать пирог.

Ребята, а как вы думаете каким образом предложил Винни-Пух произвести расчет за пирог? Не забудьте только, что у Винни-Пуха и Пятачка было 50 коп. и только пятикопеечными монетами, а сдачи они могли получить только трехкопеечными монетами. Пирог же стоил 8 коп., но был очень вкусный. Так по крайней мере утверждал Винни-Пух, а Пятачок был вполне с ним согласен.

(Р е ш е н и е : постараемся наметить направление поиска решения задачи. Легко сообразить, что если число 5 умножить на 1, 2, 3 и т. д., то мы будем получать числа, которые оканчиваются только цифрой 5 или 0.

Это значит, что Сова должна для сдачи использовать столько трехкопеечных монет, чтобы их общее количество давало число, оканчивающееся на 2 или 7. В первом десятке лишь число 4 при умножении на 3 дает в конце цифру 2 и лишь число 9 при умножении на 3 дает в конце цифру 7.

Есть, конечно, другие числа, которые входят во второй, третий и т. д. десятки, при умножении на 3 дающие в конце цифры 2 или 7. Это такие числа, как 14, 19, 24, 29…

Но Винни-Пух и Пятачок располагали лишь 50 к., а при умножении числа 19 на 3 уже получается число, бульшее 50. Значит, остаются три числа, а именно 4, 14 и 9, которые могут удовлетворять условию задачи.

Если Сова даст сдачи Винни-Пуху и Пятачку четырьмя монетами по 3 к. каждая, то это значит, что друзья должны дать Сове 20 к., или все равно что четыре монеты по 5 к. каждая.

Это можно записать следующим образом: 5 · 4 – 3 · 4 = 8 (к.)

Если Сова даст сдачи 27 к. (9 монет по 3 к.), то друзья должны были дать ей 27 + 8 = 35 (к.) Сумму 35 к. пятикопеечными монетами можно составить, взяв 7 монет: 5 · 7 – 3 · 9 = 8 (к.)

Но 5 · 10 – 3 · 14 = 8, а значит, существует три решения задачи. Какое-то одно решение Винни-Пух и Пятачок не нашли. В данном случае это и не так уж важно, так как для покупки пирога достаточно было и одного решения задачи.

Теперь после решения задачи мы можем сказать, что Кролик мог дать друзьям лишь четыре монеты по 5 к. каждая, но согласитесь, что в этом случае решение задачи было бы менее интересным.)

Задача 5

– Посмотрите на мой рисунок и представьте, что нам надо перебраться на остров, но его окружает глубокий ров с водой, ширина которого 2 м. У нас есть две доски, но длина каждой из них тоже равна 2 м. Как нам переправиться на остров? Может, вы помните, в какой сказке героям пришлось решать подобную задачу?

(Р е ш е н и е : доски надо положить на угол (см. чертеж). С. Михалков «Веселое сновидение, или Смех и слезы».)